שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך:

Transcript

1 חוק גאוס שטף חשמלי שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: Φ E = E d כאשר הסימון מסמל אינטגרל משטחי כלשהו (אינטגרל כפול) והביטוי בתוך האינטגרל הוא מכפלה סקלרית בין וקטור השדה E בנקודה כלשהי על המשטח לבין אלמנט שטח קטן. d d = dn כאשר n הוא וקטור יחידה המצביע לכיוון המאונך למישור אלמנט השטח. חוק גאוס חוק גאוס הוא חוק יסודי באלקטרוסטטיקה. מטענים חשמליים. הוא קושר בין שדה חשמלי לבין התפלגות חוק גאוס סך השטף החשמלי דרך מעטפת סגורה נמצא ביחס ישר למטען החשמלי הכלוא במעטפת. איור = :2 in Φ = Q איור :1 in Φ Q נציג את החוק בצורתו האינטגרלית: E d = 4πkQ in = Q in ɛ הסימון הוא אינטגרל על משטח סגור (כזה המכיל נפח). בנוסף, Q in הוא כמות המטען s בתוך המעטפת הסגורה בלבד (גם אם המרחב מכיל התפלגות מטען נוספת מחוץ למעטפת). אנו נעשה 2 שימושים בחוק גאוס: 1. כאשר נדע את התפלגות המטען q/λ/σ/ρ ונרצה למצוא את השדה החשמלי במרחב. E 2. כאשר נדע את השדה החשמלי E ונרצה למצוא את התפלגות המטען במרחב.q/λ/σ/ρ 1

2 חוק גאוס תמיד נכון, אולם נוכל להשתמש בו רק במקרים בהם קיימת סימטריה כך שניתן לבחור מעטפת משטחית סגורה (משטח גאוס) שעל גביה E אינו תלוי בקורדינטות המתארות את d של המעטפת. הנחיות לחישובי שדה חשמלי באמצעות חוק גאוס 1. הגדירו משטח סגור (משטח גאוסי) העובר באזור בו אנו רוצים לחשב את השדה. 2. על המשטח להיות כזה ש: (א) השדה החשמלי יהיה בעל ערך קבוע על פני המשטח הגאוסי. (ב) כיוון השדה החשמלי יהיה ניצב או מקביל למשטחים המרכיבים את המשטח הגאוסי. 3. אם המשטח שנבחר עונה על הדרישות הנ"ל, תוכלו להוציא את E אל מחוץ לאינטגרל המופיע בחוק גאוס. 4. חשבו את כמות המטען הכלואה בתוך המשטח הגאוסי. בבעיות בהן קיימת התפלגות מטען רציפה, החישוב נעשה על ידי ρdv.q in = λdl = σd = 5. הציבו, ומצאו את השדה. דוגמא: מטען נקודתי יוצר שדה התלוי רק במרחק E (r) = kq r 2.במקרה כזה, נוכל לבחור מעטפת כדורית ברדיוס d = r 2 sin θdθdϕ r: מה שיוביל ל E d = E (r) r 2 sin θdθdϕ = E (r) d = E (r) s E d = 4πr 2 E (r) E d = 4πkQ in 4πr 2 E (r) = 4πkq E (r) = kq r 2 קיבלנו את התוצאה הצפויה, אך שימו לב שכדי להגיע אליה נעזרנו רק בידיעה שגודל השדה תלוי רק במרחק מהמטען ושכיוונו r. 2

3 שאלה נתון גליל אינסופי בעל רדיוס R הטעון בצפיפות מטען אחידה ρ. (r ) = ρ 1. מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב. 2. מה צריכה להיות צפיפות המטען בגליל (r) ρ (r ) = ρ על מנת שבתוך הגליל השדה החשמלי יהיה קבוע, והשדה בחוץ כפי שהתקבל בסעיף 1. פתרון 1. מצאו את השדה החשמלי בכל המרחב. הגליל אינסופי וטעון בצפיפות מטען אחידה. אם נסובב את הגליל (כלומר, נשנה את φ) או לחילופין נזיז את הגליל לאורך ציר ẑ המערכת תיראה אותו הדבר. כיוון שכך, השדה החשמלי שנוצר מהתפלגות המטען אינו תלוי בקורדינטות ϕ ו z וכל שנותר הוא תלות במרחק מציר הגליל E ( r) = E (r, ϕ, z) = E (r) :r ובגלל האינסופיות של הגליל, כיוונו r. בגלל הסימטריה נשתמש בחוק גאוס: E d = 4πQ in כאשר מעטפת הגאוס שנבחר תהיה גליל ברדיוס r כלשהו וגובה h. הגליל מורכב ממעטפת גלילית ו 2 בסיסים, אלמנט השטח הקטן: d = (rdϕ dz) + (rdϕ dr) ẑ אך הביטוי האינטגרלי מכיל מכפלה סקלרית, ולכן E d = h 2π 2π = E (r) r dϕ E d = 2πrhE (r) E (r) rdϕdz ( ) + h dz + 2πR rdrdϕ ( ẑ) אגף ימין הוא המטען המוכל בתוך הגליל בלבד. נחלק את הבעיה לשני מקרים: r < R ו R r > כיוון שאנו מצפים לביטויים שונים עבור השדה בין שני תחומים אלו. תחום :r < R Q in = ( ) ρ r dv ρ ( r ) = ρ dv = dr r dϕ dz 1

4 נזכור כי עבור תחום זה כמות המטען קטנה מהמטען הכולל במרחב, וזה יתבטא בגבולות האינטגרציה. Q in = = ρ πr 2 h 2π ρ r dr dϕ כמובן שבגלל צפיפות המטען האחידה יכולנו פשוט לכפול בנפח כדי לקבל את המטען. כעת נשווה בין שני האגפים ונקבל: h 2πrhE (r) = 4πρ πr 2 h E (r) = 2ρ πr dz תחום :r > R כמות המטען בתוך מעטפת גאוס הגלילית אינה משתנה עבור כל r בתחום זה והיא שווה ל Q in = ρ πr 2 h 2πrhE (r) = 4πρ πr 2 h E (r) = 2ρ πr 2 { 2ρ π r, r < R E (r) = 2ρ πr 2 r, r > R r על כן, השדה החשמלי: לסיכום: נשים לב שבתוך הגליל השדה החשמלי גדל ליניארית עם המרחק r ואילו מחוץ לגליל השדה 1 r עם המרחק, בדיוק כמו במקרה של תיל אינסופי עם צפיפות מטען החשמלי קטן כמו אורכית λ = ρ πr 2 (בדקו!). 2. מה צריכה להיות צפיפות המטען בגליל (r) ρ (r ) = ρ על מנת שבתוך הגליל השדה החשמלי יהיה קבוע, והשדה בחוץ כפי שהתקבל בסעיף 1. כדי שהשדה יהיה קבוע, המטען בפנים צריך להיות תלוי במרחק בצורה ליניארית Q. in r נחשב במפורש, לשם כך נסתכל שוב על אגף ימין: Q in = 2πrhE (r) = 4π2πh E (r) = 4π r 2π ρ (r ) rdr dϕ ρ (r ) r dr ρ (r ) r dr h dz = 2πh ρ (r ) rdr 2

5 כלומר ρ (r ) r dr = Ar ( d dr ונקבלּ כאשר A הוא קבוע כלשהו. נגזור עתה את שני האגפים לפי r (כלומר ρ (r) r = A ρ (r) = A r E (r) = 4πA = Constant קיבלנו שצפיפות המטען הנפחית צריכה להיות תלויה במרחק כמו r/1 על מנת שהשדה בתחום r < R יהיה קבוע. בחירה זו אינה משנה את השדה בחוץ, כיוון שבתחום r > R כמות המטען נשארת קבועה ככל שמתרחקים. 3

6

7